यदि $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sin 2x$ और $y(0) = 1$ है,तो $y(\pi)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक वक्र मूल बिंदु से होकर गुजरता है और किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर इसके स्पर्शरेखा का ढाल $\frac{x^{2}-4x+y+8}{x-2}$ है,तो यह वक्र किस बिंदु से भी होकर गुजरता है?

मान लीजिए कि $f$ अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ पर परिभाषित एक अ-ऋणात्मक फलन है। यदि $\int_0^x \left(f^{\prime}(t)-\sin 2t\right) dt = \int_x^0 f(t) \tan t dt$ और $f(0)=1$ है, तो $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx$ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $Y=Y(X)$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक वक्र है,इस प्रकार कि स्पर्श रेखा $Y-y=Y^{\prime}(x)(X-x)$ और निर्देशांक अक्षों द्वारा घिरा क्षेत्रफल,जहाँ $(x, y)$ वक्र पर कोई बिंदु है,हमेशा $\frac{-y^2}{2 Y^{\prime}(x)}+1$ है,जहाँ $Y^{\prime}(x) \neq 0$ है। यदि $Y(1)=1$ है,तो $12 Y(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $y=f(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+\frac{xy}{x^2-1}=\frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}}$ का $(-1,1)$ में हल है जो $f(0)=0$ को संतुष्ट करता है। तो $\int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} f(x) dx$ का मान है

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 3y = e^{-2x}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।